(二)建立線性規劃的數學模型

1.確定決策變量

對企業的決策者來說，通常存在可以進行控制的因素，如產量的多少、運輸量的多少、配料的比例、下料的方案等，這些因素可以用變量來表示，成為決策變量。

2.確定目標函數

企業的決策者必須有一個明確的目標，這個目標可以是總運輸量最小、成套產品數量最多、利潤最大、成本最低等。它是決策變量的函數，成為目標函數。

3.確定約束條件

實現上述目標，決策者的行為必須受到限制，如運輸量要受到供應能力和需求量的限制、機床的加工任務要受到生產能力的限制等，這些變量的限制條件或限制范圍，稱為約束條件，它是一些限制決策者的條件的數學描述。

4.線性規劃問題的描述

所謂線性規劃問題，可以概括為：在約束條件下尋求一組決策變量的值，使目標函數達到最大值或最小值，而模型中無論是目標函數還是約束條件對變量來說都是線性的。線性是指函數中所含變量都是一次項，即都是一次函數。

(三)線性規劃的解法

線性規劃的解法有圖解法、單純形法和數值解法等，圖解法簡單直觀，但是只能夠解決兩個變量的問題;數值解法則要求借助于計算機。

1.圖解法

含有兩個變量的線性規劃模型，可以用在平面上畫圖的方法——圖解法求解。圖解法解決線性規劃問題簡單、方便、直觀，對于理解線性規劃的基本原理也是很有幫助的。

這里有幾個重要的概念：

(1)可行解。滿足所有約束條件的一個變量，叫做一個可行解。

(2)可行域。全體可行解構成的集合，稱為可行域。

(3)最優解。使目標函數達到最優解的可行解，叫做線性規劃的最優解。

一般情況下，一個線性規劃問題可能有一個唯一的最優解、多個最優解、無解或者只有無界解。

2.單純形法

圖解法，對兩個變量的線性規劃是非常方便的，但是當變量是三個或者超過三個以上時，該法就顯得無能為力了。美國數學家Dantzig發明的單純形法則是解決多變量線性規劃的一種有效的代數方法。單純形法的最大特點就是計算簡單、方便、宜于推廣，這個方法一般只需要用到加、減、乘、除運算。目前，單純形法的計算機程序十分成熟，已經運用于許多部門，有效地解決了許多實際問題。為了更好地理解單純形法的思想，先了解一下有關線性規劃解的一些基本性質：

(1)線性規劃的約束條件所構成的可行域是一個凸多邊形或凸多面體。

(2)在凸多邊形或凸多面體中有一些重要的點，與所討論的問題有著密切的關系，這就是多邊形的頂點。在線性規劃中，稱可行域頂點對應的可行解為基本可行解，可行解頂點之所以重要，在于如果線性規劃有最優解，那么它的最優解一定在可行域的頂點達到。

(3)基本可行解。對于一個具有m個方程行個變量(n>m)的線性方程組，如果其系數矩陣中含有一個m階單位矩陣(或對方程組的增廣矩陣經過初等行變換簡化后，其系數部分出現一個單位矩降)，則稱單位矩陣所在列對應的變量為基變量，其他的變量成為非基變量。由線性代數的知識可以知道，當今非基變量取零值時，則立即得到方程組的一組解(也叫一個解)，若這組解的所有分量皆大于或等于零的值，則這樣得到的解成為基本可行解。一個基本可行解中基變量的個數等于約束方程的個數m，基變量一般是大于零的，而非基變量永遠是等于零的。

上面說過，最優解可以在基本可行解中尋找，但是要把所有的基本可行解全部找出來，代人目標函數依次進行比較，也是比較麻煩的，單純形法的優越性就在于不用找出全部的基本可行解，在得到一個基本可行解F后，依據這個解可以求出一個新的基本可行解X1，并且新解比舊解的目標函數值會有所改善，不斷重復這個過程，直到求出的解無法再使目標函數得到改善為止。

三、層次分析法

由于客觀事物關系的復雜性，許多事物是不能用數學簡單而明確地表達的，還有許多事物的關系本來就不是數學關系，因此完全用定量的分析方法就難免帶有局限性。在目前的系統分析方法中，對于涉及因素多、范圍廣、關系復雜的大系統，相當多的還要依靠定性分析。這些定性分析中包括專家對專業范圍內事物發展變化的推測、對內部和外部關系的定性描述、對事物的定性評價等。因此，如何將專家的主觀分析數量化，即將定量分析和定性分析結合起來對客觀事物進行分析、評價，就成為系統工程的一個問題，層次分析法正是這樣一種將定量分析和定性結合起來的方法。

(一)基本原理

用層次分析法作系統分析，首先要把問題層次化，根據問題的性質和要達到的目標，將問題分解成為不同的組成因素，井按照因素間的相互關聯影響以及隸屬關系將因素按照不同的層次聚集組合，形成一個多層次的分析結構模型，并最終把系統分析歸結為最低層(供決策的方案、措施等)，相對于最高層(總目標)的相對重要性權值的確定或相對優劣次序的排序問題。

在排序計算中，每一層次的因素相對于上一層次某一因素的單排序問題又可以簡化成一系列相對因素的判斷比較。為了將比較判斷定量化，層次分析法引入1-9比率標度方法，并寫成矩陣形式，即構成所謂的判斷矩陣。形成判斷矩陣后，即可通過計算判斷矩陣的最大特征根及其對應的特征向量，計算出某一層元素相對于上一層次各個因素的單排序權值后，用上一層次因素本身的權值加以綜合，即可計算出某層因素相對于上一層次整個層次的相對重要性權值，即層次總排序權值。這樣，依次由上至下即可計算出最低層因素相對于最高層的相對重要性權值或相對優劣次序的排序值，決策者根據對系統的這種數量關系，進行決策、政策評價、選擇方案、制定和修改計劃、分配資源、決定需求、預測結果、找到解決沖突的方法等。

(二)步驟

層次分析法大致分為五個步驟：

1.建立層次結構模型

在深入分析所面臨的問題之后，將問題中所包含的因素劃分為不同層次，如目標層、準則層、指標層、方案層、措施層等，用框圖形式說明層次的遞階結構與因素的從屬關系，當某個層次包含的因素較多時，可以將該層次進一步劃分為若干個層次。

2.構造判斷矩陣

判斷矩陣元素的值反映了人們對各種因素相對重要性(或優劣、偏好、強度等)的認識，一般采用1-9比率及其倒數的標度方法。當相互比較因素的重要性能夠用具有實際意義的比值說明時，判斷矩陣相應元素的值則可以取這個值。

3.層次單排序及其一致性檢驗

判斷矩陣A的特征根問題AW=AmaxW的解Ⅳ經歸一化后即為同一層次相應元素對于上一層次某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱為層次單排序。為進行層次單排序(或判斷矩陣)的一致性檢驗，需要計算一致性指標時，認為層次單排序的結果有滿意的一致性，否則需要調整判斷矩陣的元素取值。

4.層次總排序

計算同一層次所有因素對于最高層(目標層)相對重要的排序權值，稱為層次總排序。這一過程是從最高層次到最低層次逐層進行的。

5.層次總排序的一致性檢驗

這一步驟也是從高到低逐層進行的。

(三)應用

層次分析法是分析復雜問題的一種簡便方法，它特別適宜于那些難以完全用定量法進行分析的復雜問題。可以運用層次分析法來處理決策和評選問題，也可以將層次分析法用于有限資源的分配等。層次分析法在能源問題中有很多用處，如在各種能源優化規劃中確定多目標的權重，對于各種能源開發方案進行評比等。