1引言

非線性系統的性能是復雜多變的。長期以來,人們對非線性電路中的平衡狀態和周期振蕩狀態研究較為充分,取得了許多有用的結果。直到40多年前的一次重要模擬結果出現后,使非線性領域的研究進入了新紀元。1963年,美國麻省理工學院著名的氣象學家洛倫茲(E.N.Lorenz)在研究一個氣象學模型時,發現了異常的情況。洛倫茲經過長時間反復地在計算機上試驗,其結果都是一樣與經典認識不同。它的特點是響應一直出現類似隨機的振蕩,狀態軌跡在一個區域內永不重復地運動著,這一現象后來被稱之為混沌[1][2]。

混沌是非線性動力系統在一定參數條件下產生的對初始條件具有敏感依賴性的隨機運動。混沌運動的根本原因是運動方程的非線性;混沌運動具有內在隨機性,對初值非常敏感,若兩次運動的初值有微小差別,長時間后兩次運動會出現較大的、無法預知的偏差。混沌現象是自然界的普遍現象,也是非線性系統所特有的復雜狀態。

2混沌電路

2.1電路理論分析

混沌現象在非線性電路中也普遍存在,電路呈現混沌現象,原則上應考慮兩個條件[3][4]:

(1)二階或二階以上的強制系統;三階或三階以上的自治系統;

(2)至少有一個非線性器件。

圖1所示的三階自治電路由四個線性元件(兩個電容、一個電感、一個線性電阻)和一個非線性電阻所組成。

2.2構造非線性電阻電路

非線性電阻的部分可以用運算放大器做成負阻抗電路,且當大于某一電壓值時,運算放大器開始飽和,將兩個這樣的運算放大器并聯,就可以得到伏安曲線為圖2的非線性電阻,完成的電路如圖3所示。

3EWB仿真分析

用EWB(ElectronicsWorkbench)軟件對圖3電路進行計算機模擬仿真分析。這里取C1=0.3474uF,C2=0.0155uF,L1=11.0534mH,R1=13.9596Ω,R2=218Ω,R3=374.1Ω,R4=2.19kΩ,R5=3.0811kΩ,R6=18.596kΩ,R7=21.7kΩ,代入非線性電阻的分段線性特性方程中。通過改變不同的W1的值,可得不同的狀態軌跡,W1=1.14kΩ處的狀態軌跡如圖4所示,C2、C1兩端的電壓時域波形分別如圖5、圖6所示。

結果顯示,電路中電容電壓和電感電流出現類似噪聲的無規則振蕩,它是一種有界的穩態過程,其狀態平面上的軌跡按某種內在規律永不重復地穿來穿去,這種類似“蝴蝶”形狀的圖形稱為混沌吸引子。混沌吸引子又稱奇怪吸引子,它是混沌運動中特有的,具有復雜的拉伸、折疊和伸縮的結構,使得按指數規律發散的系統保持在有限的空間內,即一切位于吸引子之外的運動都向吸引子靠攏,對應著穩定的方向;而一切到達吸引子內部的運動都相互排斥,對應著不穩定的方向。

在計算機模擬分析時,如果改變一下初始狀態,其響應將發生重大變化,這是因為混沌運動對初始狀態非常敏感。

4硬件電路調試

按圖3電路制成印刷電路板,考慮到元器件參數的標稱值,實際電路中取C1=0.33uF,C2=0.015uF,L1=10mH,R1=5.1Ω,R2=220Ω,R3=390Ω,R4=2.2kΩ,R5=3kΩ,R6=18kΩ,R7=22kΩ,固定電壓正負5V。將輸出端信號S2-OUT、S1-OUT分別接到示波器的CH1、CH2探頭,工作方式選擇X-Y方式。將W1調到最小,示波器屏上可觀察到一條直線,調節W1,直線變成橢圓,到某一位置,增大示波器的倍率,反向微調W1,可見曲線開始作倍周期變化,曲線由一周期增至二周期,由二周期增至四周期,……,直至一系列難以計數的無首尾的環狀曲線,這是一個單渦旋吸引子集。繼續微調W1,單吸引子突然變成了雙吸引子,只見環狀曲線在兩個向外渦旋的吸引子之間不斷填充與跳躍,這就是混沌吸引子,它的特點是整體上的穩定性和局部上的不穩定性同時存在。微調W1使其在1.1kΩ左右時,電路進入混沌狀態,用示波器觀察到的實際特性與計算機分析的結果非常接近。

利用這個電路,還可以觀察到周期性窗口。仔細調節W1,原先的混沌吸引子突然出現了一個三周期圖像,繼續微調W1,又出現了混沌吸引子,這一現象稱為出現了周期性窗口。

以上結果表明,在非線性電路中出現這種特性的混沌振蕩具有深刻的理論價值,它改變了人們許多傳統認識。經典理論主要是以線性、對稱、可逆、有序、穩定為基礎,產生了非常規律性的結果。而現代理論卻以非線性、非對稱、不可逆、無序、不穩定為特征,演化出了非常奇特的運動機理,混沌就是這類典型代表。

5結束語

混沌現象不僅存在于電路中,在地震、氣象、機械、化學、控制、生理等領域中都會出現,混沌現象的研究和應用已經形成了一門新的科學,研究涉及的領域包括數學、物理學、生物學、化學、天文學、經濟學及工程技術的眾多學科,并且對這些學科的發展產生了深遠的影響。混沌包含的物理內容非常廣泛,研究這些內容更需要深入的數學理論,如微分動力學理論、拓撲學、分形幾何學等等。目前混沌的研究重點已轉向多維動力學系統中的混沌、量子及時空混沌、混沌的同步及控制等方面。

參考文獻

[1]E.N.洛倫茲.混沌的本質[M].北京:氣象出版社,1997.

[2]詹姆斯•格萊克.混沌開創新科學[M].上海:上海譯文出版社,1990.

[3]高金峰.非線性電路與混沌[M].北京:科學出版社,2005.

[4]王興元.復雜非線性系統中的混沌[M].北京:電子工業出版社,2003.