摘　要：有限的資源和隨機的需求是排隊論存在的基礎，而在如今的社會，這種現(xiàn)象越發(fā)廣泛和復雜。我們將要求服務的顧客和提供服務的機構組合成一個系統(tǒng)，稱之為排隊系統(tǒng)。這種系統(tǒng)存在于各個方面，本文研究的是排隊論運用在通信網(wǎng)絡中的各端業(yè)務問題。排隊論系統(tǒng)分為優(yōu)先制排隊系統(tǒng)和非優(yōu)先制排隊系統(tǒng)，本文描述了帶有非強占權優(yōu)先制的排隊系統(tǒng)，其模型為兩隊中其中一對帶有優(yōu)先制度的M/M/1的模型。根據(jù)此模型可以定義變量，畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖并列出狀態(tài)方程，最后求出穩(wěn)態(tài)解。通過性能分析發(fā)現(xiàn)，帶有優(yōu)先權的M/M/1模型系統(tǒng)與一般模型相比性能將會有所提高，這也是優(yōu)先制度的體現(xiàn)。
關鍵詞：排隊論　狀態(tài)轉(zhuǎn)移　M/M/1模型
 1　規(guī)定系統(tǒng)模型
    在實際問題中，選擇適當?shù)哪Ｐ停欣诟玫慕鉀Q問題。這里我們采用的是帶優(yōu)先制度的M/M/1模型。當有n個業(yè)務公用一條線路時，事先規(guī)定好各自的優(yōu)先級。本文采用的優(yōu)先制度為：隊伍中有n個業(yè)務公用一條線路，優(yōu)先級高的一對享有優(yōu)先權，只要線路有空閑時即可占用，而優(yōu)先級別低的必須在優(yōu)先級高的隊伍無呼叫等待且線路空閑時才能占用線路，但不會強行中斷正在占用線路的用戶。這就是非強占權優(yōu)先制排隊系統(tǒng)。
 
2　定義狀態(tài)變量
    定義系統(tǒng)的變量是求解問題難易的關鍵，所選擇的變量要便于計算，其結果要有可用性。選擇的變量越多，維數(shù)越大，計算就越難復雜。通信網(wǎng)中業(yè)務分析常用的變量是隊長和占用線數(shù)等，并且通信網(wǎng)中業(yè)務分析趨于穩(wěn)態(tài)，很少涉及暫態(tài)，所以我們一般只求穩(wěn)態(tài)解。
    規(guī)定A隊列和B隊列，其中A隊有優(yōu)先權，B隊只能在A隊無等待著的呼叫時占用線路，占用后不會因為A隊有呼叫而被強拆。
    系統(tǒng)狀態(tài)主要有兩個因素：線路的繁忙，A．B兩隊等待處理的呼叫數(shù)。令t為線路狀態(tài)，t =1表示線路占用，t=0表示線路空閑。r與s分別表示A．B兩隊中等待的呼叫數(shù)。r與s不包括正在傳輸?shù)暮艚校驗楹笳呖赡苁茿隊的，也可能是B隊的。其中，兩隊的到達率分別為 和 ，服務率為 。
 
3　列出狀態(tài)方程
   對于M/M系統(tǒng)，可先畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，直接用柯式方程列出狀態(tài)方程。從一個系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可以清楚的看出某個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，這種方法簡單明了，便于分析問題并列出狀態(tài)方程。
   當系統(tǒng)空閑時，即t =0，r與s也為0，稱之為“0”狀態(tài)。當t =1時，用二維矢量（r，s）代表系統(tǒng)狀態(tài)。兩隊的截止隊長（不包括正在傳輸?shù)暮艚校┓謩e為和。狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1所示。


                  圖1　非強占權優(yōu)先制系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖
 
   圖1中所體現(xiàn)出來的優(yōu)先制度為：當r>0時，（r,s+1）狀態(tài)不能轉(zhuǎn)移到（r,s）狀態(tài)，因為一旦有線路空閑，A隊就會占用線路，就轉(zhuǎn)移到（r-1,s+1）狀態(tài)。由圖1可寫出穩(wěn)態(tài)下的系統(tǒng)狀態(tài)方程：
r =s =t =0：                               
t =1, r =0, s<：                       
t =1, s =0, r<：                      
 
t =1, > r> 0, > s> 0       
 
t =1, r =, s<：                 
t =1, s =, r< ：               
t =1, s =, r =：                 
 
歸一條件：
                                    
在上述方程中，如果r和s出現(xiàn)負數(shù)，理解為為0。上述所有公式即為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，這些方程構成一個二維的差分方程，求解很麻煩。
 
4　求解穩(wěn)態(tài)狀態(tài)方程
   設A隊為不拒絕型的，即；B隊是及時拒絕型的，即，亦即s為0。狀態(tài)方程可簡化為：
                                         
                 
   最后求解出：
                                    
5　性能分析
由求解出的 可以得到B隊的拒絕概率：
                                   
信道利用率：
                                      
  上述中
                 
 
其中A隊的平均等待時間為：
                                  
 
    現(xiàn)在來分析標準M/M/1系統(tǒng)的性能。對于標準的M/M/1系統(tǒng)，即B隊是不存在的，平均時間為：
                              
                    
信道利用率：    
                 
                        
可以明顯看出，利用優(yōu)先制度，再加上B隊列，A隊的平均等待時間將會增長，信道利用率也會提高。這就表明，信道利用率的提高將會帶來的后果是優(yōu)先隊列的等待時間增長。
 
參考文獻：
[1]周炯槃.通信網(wǎng)理論基礎（修訂版）[M].北京：人民郵電出版社，2009.
[2]